Pavages, tuile apériodique et Grasshopper

Pavage, tuile apériodique et Grasshopper

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Un plan qui se recouvre sans accroc !

En novembre 2022, Dave Smith, féru de puzzles et de géométrie, découvre par hasard un polygone à 13 côtés qui semble révéler une propriété intéressante… Il faudra attendre quelques semaines supplémentaires et faire appel à trois mathématiciens (Joseph Myers, Craig Kaplan, et Chaim Goodman-Strauss) pour démontrer formellement que cette tuile permet, à elle seule, de constituer un pavage apériodique du plan. L’occasion rêvée pour évoquer cette avancée majeure, mais aussi revenir en images sur quelques pavages – ou dérivés – réalisés avec Grasshopper.

La tuile polykite à 13 côtés permettant un pavage apériodique.
Cinquante ans de recherches pour 13 côtés !

Pavage apériodique, dites-vous ? Qu’est-ce donc que cette chose effrayante ?

Un pavage, tout d’abord, peut être décrit comme un ensemble de portions de plan, représentées généralement sous forme de courbes fermées ou de surfaces, qui collées les unes aux autres sans se chevaucher, permettent de recouvrir intégralement le plan, sans laisser d’espace vide. Les pavages les plus simples sont périodiques et réguliers : ils sont donc constitués d’une répétition, dans toutes les directions, d’un seul polygone régulier. Il n’existe que trois grilles régulières de ce type : triangulaire, carrée et hexagonale.

Un pavage hexagonal régulier, avec des variations de couleurs par rapport à une courbe attractrice.
Un pavage hexagonal régulier, associé à un effet d'attracteur de courbe... avec Grasshopper.

Variations en hexagones majeurs

D’autres types de pavages naissent en assouplissant ou au contraire en ajoutant de nouvelles règles géométriques : il est par exemple possible d’autoriser plusieurs formes dans le motif – et pourquoi pas utiliser des courbes au lieu de polygones, de jouer avec les symétries et rotations des tuiles, ou de s’affranchir de la périodicité, tout en conservant l’utilisation d’un nombre minimal de formes différentes pour ne pas tomber dans le chaos géométrique le plus total.

A cela s’ajoutent les pouvoirs magiques de Grasshopper, et des possibilités de dégradés de couleurs ou d’échelle par les points attracteurs, ou le transfert sur des surfaces quelconques. En effet, si les notions de symétrie et la répétition infinie qu’apportent des pavages réguliers peut être intéressante, les architectes et designers sont plus souvent à la recherche de variations locales, pour casser la monotonie du motif.

Verre à pied avec pavage hexagonal et spirales progressives.
Un pavage hexagonal régulier sert de base à la génération de spirales, dont les angles d'enroulement de plus en plus importants à mesure que l'on monte sur le verre... une réalisation Grasshopper.

Un pavage apériodique, c’est donc un pavage qui ne se répète jamais, quelle que soit la direction ou la distance dans laquelle on regarde. La dernière solution à ce problème abstrait, trouvée par Penrose dans les années 1970, nécessitait l’emploi de deux tuiles. Il aura fallu attendre plus de 50 ans pour qu’une solution élégante n’utilisant qu’une forme soit mise en évidence. Chose amusante, on peut retrouver dans ce pavage des lignes directrices qui ne sont pas sans rappeler… nos chers hexagones réguliers !

Si les tenants et aboutissants de la justification n’intéressent qu’une minorité de lecteurs, nombreux sont les férus de géométrie qui ont déjà pris le temps de s’amuser avec le polygone tant convoité, explorant des jeux de couleurs ou différentes méthodes de construction. Il est même possible d’inclure un motif dans le motif, certaines solutions apparemment aléatoires laissant apparaître de grandes lignes directrices, témoins de l’importance des fondements mathématiques sous-jacents.

Tuile apériodique aux couleurs de Form2Fab
La tuile de base, surnommée polykite hat (littéralement, chapeau à plusieurs cerfs-volants), permet d'amusantes joyeuseutés vestimentaires.

Il est difficile aujourd’hui d’envisager toutes les répercussions qu’aura cette découverte, dont la portée s’étend bien au-delà du domaine artistique. Les pavages réguliers, à base de triangles ou de carrés, interviennent dans la génération de maillages, utilisés pour approximer des solides quelconques, une problématique inhérente à des sujets de sculpture, de simulation aux éléments finis, ou d’impression 3D…

Pour aller plus loin...

Le lien vers la publication et des ressources complémentaires (en anglais) : An Aperiodic Monotile et une vidéo qui montre la famille de tuiles générées sur la même base, trente secondes hypnotiques ! https://www.youtube.com/watch?v=W-ECvtIA-5A

 

Maxime, mentor Form2Fab

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